Suite de produits trigonométriques

$\Huge \begin{flushright} \textit{Fier et régénéré, il boit du petit-lait\\ car il a su gérer un produit aussi laid} \end{flushright} \textbf{Énoncé:}~~(temps conseillé : 1 h 15 min) \textit{d'après EDHEC ECS mai 1996}\\ Dans cet exercice, $x$ désigne un réel de $\big]0~;\dfrac{\pi}{2}\big[$.\\ Soit la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = \cos(x)$ et, pour tout entier naturel $n$ :\\ $u_{n+1} = u_n\cos\big(\dfrac{x}{2^{n+1}}\big)$\\ 1) Soit $(v_n)$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ par $v_n = u_n\sin\big(\dfrac{x}{2^n}\big)$. Montrer que $(v_n)$ est géométrique.\\ 2) Déterminer, pour tout entier naturel $n$, l'expression de $u_n$ en fonction de $n$ et $x$.\\ 3) Démontrer que pour tout réel positif $t$, on a l'encadrement suivant : $t - t^2 \leq \sin(t) \leq t$\\ 4) En déduire $\underset{t \rightarrow 0}{\lim}~\dfrac{\sin(t)}{t}$.\\ 5) Montrer enfin que $(u_n)$ converge et déterminer sa limite.\\$

Correction :

La correction des deux premières questions est aussi disponible en vidéo sur ma chaîne youtube :