Actions de groupes et formule de Burnside

$\begin{flushright} \textit{Il est venu l'été des fécondes moissons\\ pour qui sait bien compter de plus d'une façon.} \end{flushright} \textbf{Énoncé:}~~~~~~(temps conseillé : 45 min)\hfill\textit{}\\ Soit $X$ un ensemble non vide. On dit qu'un groupe $(G,*)$ agit sur l'ensemble $X$ s'il existe une application $\varphi : G \times X \rightarrow X$ vérifiant :\\ $\bullet~\forall x \in X,~\varphi(e,x) = x$~~~~où $e$ est l'élément neutre de $G$\\ $\bullet~\forall x \in X,~\forall g_1, g_2 \in G,~\varphi\big(g_1,\varphi(g_2,x)\big) = \varphi(g_1*g_2,x)$\\ On rappelle que l'ensemble $\sigma(X)$ des bijections de $X$ dans lui-même, muni de la composition $\circ$, est un groupe.\\ Enfin, pour tout ensemble $E$, on pourra noter $|E|$ le cardinal de $E$.\\ 1) Montrer que $(G,*)$ agit sur $X$ si et seulement si il existe un morphisme de groupes\\ $\Phi : (G,*) \rightarrow \big(\sigma(X),\circ\big)$\\ 2) Soit $(G,*)$ un groupe agissant sur $X$. Il existe donc une application $\varphi$ vérifiant les hypothèses indiquées dans l'énoncé. Par commodité, pour tout $g \in G$, pour tout $x \in X$, on pourra noter $g.x = \varphi(g,x)$. On a donc :~~~~$\forall x \in X, e.x = x$~~et~~$\forall g_1, g_2 \in G,~g_1.(g_2.x) = (g_1*g_2).x$\\ Pour tout $x \in X$, on appelle orbite de $x$ et on note $Gx$ la partie de $X$ définie par :\\ $Gx = \lbrace \varphi(g,x)~,~g \in G \rbrace = \lbrace g.x~,~g \in G \rbrace$\\ Montrer que les orbites $Gx$ sont des classes d'équivalence, et donc qu'elles forment une partition de $X$.\\ 3) Pour tout $x \in E$, on appelle stabilisateur de $x$ l'ensemble $\text{Stab}(x) = \lbrace g \in G,~g.x = x\rbrace$.\\ Et pour tout $g \in G$, on appelle fixateur de $g$ l'ensemble $\text{Fix}(g) = \lbrace x \in X,~g.x = x\rbrace$.\\ Soit $x \in X$ et soit $y \in Gx$. Soit $A_y = \lbrace g \in G,~ g.x = y \rbrace$.\\ a) Justifier que $A_y$ est non vide. Dans la suite, $g_0$ est un élément de $A_y$.\\ b) Soit $f$ la fonction définie sur $\text{Stab}(x)$ par $f(g) = g_0*g$. Montrer que $f : \text{Stab}(x) \rightarrow A_y$ est bijective. En déduire pour tout $x \in E$, $|Gx| \times |\text{Stab}(x)| = |G|$\\ 4) En déduire que le nombre d'orbites $Gx$ est $N = \dfrac{1}{|G|}\displaystyle\sum_{g \in G}~|\text{Fix}(g)|$.\\ \textit{C'est la formule de Burnside.} On pourra considérer l'ensemble $C = \lbrace (g,x) \in G \times X,~g.x = x\rbrace$\\$

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