Application et ensembles de points du plan complexe

\begin{flushright} \textit{Le lycéen vaillant cherche par l'équation\\ tous les points invariants par une application.} \end{flushright} \textbf{Énoncé:}\hfill \textit{d'après bac S Nouvelle-Calédonie, déc 2001}~~~~~~(temps conseillé : 55 min)\\ Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv, unité graphique : 4~cm. Soit A le point d'affixe $z_{\text{A}} = - $i et B le point d'affixe $z_{\text{B}} = - 2$i. On appelle $f$ l'application qui, à tout point $M$ d'affixe $z$, $M$ distinct de A, associe le point $M'$ d'affixe $z'$ définie par $z' = \dfrac{\text{i}z - 2}{z + \text{i}}$. \begin{enumerate} \item Démontrer que, si $z$ est un imaginaire pur et si $z \neq - \text{i}$, alors $z'$ est imaginaire pur. \item Déterminer les points invariants par l'application $f$. (c'est-à-dire tels que $f(M) = M$) \item Calculer $\left|z' - \text{i}\right| \times |z + \text{i}|$. Montrer que, quand le point $M$ décrit le cercle de centre A et de rayon 2, le point $M'$ reste sur un cercle dont on déterminera le centre et le rayon. \item \begin{enumerate} \item Développer $(z + \text{i})^2$, puis factoriser $z^2 + 2\text{i}z - 2$. \item Déterminer l'ensemble des points $M$ tels que $M'$ soit le symétrique de $M$ par rapport à O. \end{enumerate} \item Déterminer l'ensemble E des points $M$ tels que le module de $z'$ soit égal à 1.\\ \end{enumerate}

Correction :