Caractérisation des projecteurs orthogonaux par la norme

$\Large \begin{flushright} \textit{Cet écrit nous informe sur les projecteurs\\ qui diminuent les normes de tous les vecteurs.} \end{flushright} \textbf{Énoncé:}~~~~~~(temps conseillé : 25 min)\\ Soit $E$ un espace euclidien de produit scalaire $<~,~>$ et de norme associée $\left\|.\right\|$, et soit $p$ un projecteur de $E$.\\ Démontrer l'équivalence suivante : $p$ est un projecteur orthogonal $\Longleftrightarrow$~~$\forall x \in E,~\left\|p(x)\right\| \leq \left\|x\right\|$\\ \center{\textbf{Correction:}}\\$