Continuité et norme d’une application linéaire

\begin{flushright} \textit{Le cours oui je veux bien, mais faites attention :\\ est-ce qu'il se maintient pour toutes dimensions ?} \end{flushright} \textbf{Énoncé:}~~~~~~(temps conseillé : 25 min)\\ Soit $E$ l'espace vectoriel des applications continues sur $[0~;~1]$ à valeurs réelles. On munit $E$ de la norme $||.||$ telle que pour tout $f \in E,~||f|| = \displaystyle\int_0^1 |f(t)|~\text{d}t$\\ Soit l'application $\Phi$ qui à tout élément $f$ de $E$ associe l'application $\Phi(f)$ définie sur $[0~;~1]$ par :\\ $\big(\Phi(f)\big)(x) = \displaystyle\int_0^x f(t)~\text{d}t$\\ 1) Montrer que $\Phi$ est un endomorphisme continu de $E$. 2) Déterminer $\underset{f \in E\backslash\lbrace0_E\rbrace}{\sup}~\dfrac{||\Phi(f)||}{||f||}$~~~~(\textit{norme subordonnée de $\Phi$})\\ ~~\\ \textbf{Correction:}\\