Convergence de produit et de sommes

$\begin{flushright} \textit{Quand Hélène nous fait passer de Sparte à Troie,\\ son homophone sait aussi jouer les courroies.} \end{flushright} \textbf{Énoncé:}~~(temps conseillé : 25 min)\hfill\textit{d'après e4a 2003}\\ Soit $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite d'éléments de $\big]1~;~+\infty\big[$. Pour tout $n \in \mathbb{N}$,~on pose $p_n = \displaystyle\prod_{k=0}^n~a_k$ 1) Montrer que si la série $\displaystyle\sum_{n \geq 0} \ln(a_n)$ converge, alors la suite $(p_n)$ converge, et exprimer sa limite $p$ en fonction de $S =\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} \ln(a_n)$\\ 2) Dans le cas où $\displaystyle\sum_{n \geq 0} \ln(a_n)$ diverge, étudier la convergence de $(p_n)$.\\ 3) Pour tout $n \in \mathbb{N}$,~on pose $u_n = a_n - 1$. Démontrer que $(p_n)$ converge vers $p > 0$ si et seulement si la série $\displaystyle\sum_{n \geq 0} u_n$ converge ~~\\ ~~\\ \textbf{Correction:}\\$