Croissance, décroissance, continuité

\begin{flushright} \textit{Il y a continuité. Pour en prendre conscience,\\ En inégalités traduisez la croissance.} \end{flushright} \textbf{Énoncé:}~~~~~~(temps conseillé : 20 min)\\ Soit $f :~]0~;~+\infty[ \longrightarrow \mathbb{R}$ une fonction croissante. On suppose que la fonction $g$ définie sur $]0~;~+\infty[$ par $g(x) = \dfrac{f(x)}{x}$ est décroissante. Montrer que $f$ est continue.\\ \textbf{Correction:}\\