Décomposition en somme de fonctions paire et impaire

\begin{flushright} \textit{Je montre ce qui suit en croquant dans ma pomme :\\ Toute fonction s'écrit comme une telle somme.} \end{flushright} \textbf{Énoncé:}~~~~~~(temps conseillé : 1 heure)\\ Soit $f$ une fonction définie sur $\mathbb{R}$. On cherche à démontrer que $f$ s'écrit de manière unique comme la somme d'une fonction $f_P$ paire et d'une fonction $f_I$ impaire.\\ Autrement dit, on cherche à prouver l'existence et l'unicité d'un couple de fonctions $(f_P,f_I)$ avec $f_P$ paire et $f_I$ impaire telles que :~$\forall x \in \mathbb{R},~f(x) = f_P(x) + f_I(x)$ 1) On suppose dans cette question qu'il existe deux telles fonctions, $f_P$ paire et $f_I$ impaire, vérifiant : pour tout réel $x$, $f(x) = f_P(x) + f_I(x)$. Montrer que $f_P$ et $f_I$ sont uniques. 2)a) Soit $f_1$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f_1(x) = \dfrac{f(x) + f(-x)}{2}$. Montrer que $f_1$ est paire. ~~b) Soit $f_2$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f_2(x) = \dfrac{f(x) - f(-x)}{2}$. Montrer que $f_2$ est impaire. 3) Conclure.\\ 4) Application :\\ a) Soit la fonction $g$ définie par $g(x) = \sqrt{x^2 + x + 1}$. Justifier que $g$ est bien définie sur $\mathbb{R}$, puis écrire $g$ comme la somme d'une fonction paire et d'une fonction impaire.\\ b) Écrire la fonction cosinus comme la somme d'une fonction paire et d'une fonction impaire.\\ 5) Soit $f$ une fonction dérivable sur $\mathbb{R}$, et paire. Montrer que sa dérivée $f'$ est impaire.\\ \textbf{Correction:}