Démontrer une convergence de deux façons

$\LARGE \begin{flushright} \textit{Parvenons à nos fins par deux sentiers distincts\\ dont les pluvieux parfums réveillent nos instincts.} \end{flushright} \textbf{Énoncé:}~~~~~~(temps conseillé : 1 heure)\\ Soit $(u_{n})$ la suite numérique définie sur $\mathbb{N}$ par : $u_0 = 0$ et $\forall n \in \mathbb{N},~u_{n+1} = \sqrt{3u_{n} +4}$\\ 1)a) Montrer que pour tout entier naturel $n$ : $0 \leq u_n \leq 4$.\\ b) Montrer que $\left(u_{n}\right)$ est croissante.\\ c) En déduire que $\left(u_{n}\right)$ converge et déterminer sa limite.\\ 2)a) Montrer que pour tout entier naturel $n$, on a : $0 \leqslant 4 - u_{n+1} \leqslant \dfrac{1}{2}\left(4 - u_{n}\right).$\\ b) En déduire une autre manière de retrouver le résultat de \textbf{1. c}.\\ \textit{On pourra s'intéresser à la suite $(v_n)$ définie par $v_n = 4 - u_n$}\\ \center{\textbf{Correction:}}\\$