Deux séries de même nature – Ayoub et les maths

$\LARGE \begin{flushright} \textit{En termes de nature, ces séries s'associent :\\ si l'une est convergente, alors sa sœur aussi.} \end{flushright} \textbf{Énoncé:}~~~~~~(temps conseillé : 15 min)\\ Soit $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite de réels positifs et soit $(v_n)_{n \in \mathbb{N}}$ la suite définie par $v_n = \dfrac{u_n}{1 + u_n}$.\\ Montrer que $\displaystyle\sum_{n\geq 0} u_n$ et $\displaystyle\sum_{n\geq 0} v_n$ sont de même nature.\\ \center{\textbf{Correction:}}$