Diviseurs premiers et logarithme

$\begin{flushright} \textit{Amitié fusionnelle : ln et les premiers !\\ Leurs effluves se mêlent, afin que vous ramiez.} \end{flushright} \textbf{Énoncé:}~~~~~~(temps conseillé : 30 min)\hfill\\ Pour tout entier naturel $n \geq 2$, on note $P(n) = \underset{p|n~\text{et}~p > \ln n}{\prod_{p ~\text{premier}}} (1 - \dfrac{1}{p})$.\\ Autrement dit, $P(n)$ est le produit des $(1 - \dfrac{1}{p})$ pour tous les nombres premiers $p$ divisant $n$ et strictement supérieurs à $\ln n$.\\ Par convention, si $n$ n'admet aucun diviseur premier strictement supérieur à $\ln n$, on pose $P(n) = 1$.\\ Démontrer que $\underset{n \rightarrow +\infty}{\lim}~P(n) = 1$\\ \textbf{Correction:}\\$