Équations et coordonnées dans l’espace

\begin{flushright} \textit{Sauf quelques nouveautés, rien de bien émouvant\\ et les coordonnées se trouvent comme avant.} \end{flushright} \textbf{Énoncé:}\hfill \textit{bac S Nouvelle-Calédonie, nov 2014}~~~~~~(temps conseillé : 55 min)\\ L'espace est rapporté à un repère orthonormé \Oijk. \index{géométrie dans l'espace} On donne les points A$(1~;~0~;~- 1)$, B$(1~;~2~;~3)$, C$(-5~;~5~;~0)$ et D$(11~;~1~;~-2)$. Les points I et J sont les milieux respectifs des segments [AB] et [CD]. Le point K est défini par $\vect{\text{BK}} = \dfrac{1}{3}\vect{\text{BC}}$. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer les coordonnées des points I, J et K. \item Démontrer que les points I, J et K définissent un plan. \item Montrer que le vecteur $\vect{n}$ de coordonnées (3~;~1~;~4) est un vecteur normal au plan (IJK).\index{vecteur normal} En déduire une équation cartésienne de ce plan.\index{equation de plan@équation de plan} \end{enumerate} \item Soit $\mathcal{P}$ le plan d'équation $3x + y + 4z - 8 = 0$. \begin{enumerate} \item Déterminer une représentation paramétrique de la droite (BD).\index{equation parametrique de droite@équation paramétrique de droite} \item Démontrer que le plan $\mathcal{P}$ et la droite (BD) sont sécants et donner les coordonnées de L, point d'intersection du plan $\mathcal{P}$ et de la droite (BD). \item Le point L est-il le symétrique du point D par rapport au point B ?\\ \end{enumerate} \end{enumerate}

Correction :