Étude de fonction, expo, ln, encadrement d’intégrale

\begin{flushright} \textit{Effort de longue haleine dont le point final\\ confère une joie saine, un ouf phénoménal.\\} \end{flushright} \textbf{Énoncé:}~~~~~~(temps conseillé : 2 heures)\hfill \textit{d'après bac S juin 1997 métropole gp 1 bis}\\ \textbf{PARTIE A} \medskip Soit la fonction $\varphi$ définie dans $\R$ par $\varphi(x) = \text{e}^x + x + 1.$ \begin{enumerate} \item Montrer que l'équation $\varphi(x) = 0$ a une solution et une seule $\alpha$ et donner un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $10^{-2}$ \item En déduire le signe de $\varphi(x)$ sur $\R$. \end{enumerate} \medskip \textbf{PARTIE B} \medskip Soit la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = \dfrac{x\text{e}^x}{\text{e}^x + 1}$ et soit $(\mathcal{C})$ sa courbe représentative dans un repère orthonormal \Oij{} du plan. \begin{enumerate} \item Déterminer le sens de variation de $f$. \item Montrer que $f(\alpha) = \alpha + 1$ et en déduire un encadrement de $f(\alpha)$. \item Soit T la tangente à $(\mathcal{C})$ au point d'abscisse $0$. Donner une équation de T et étudier la position de $(\mathcal{C})$ par rapport à T. \item Déterminer les limites de $f$ en $+ \infty$ et $- \infty$. \item Dresser le tableau de variations complet de $f$. \item Étudier la position de $(\mathcal{C})$ par rapport à la droite D d'équation $y = x$. \end{enumerate} \medskip \textbf{PARTIE C} \medskip On considère la fonction $g$, définie sur [0~;~1] par : $g(x) = \ln \left(1 + \text{e}^x\right).$ On note $(\mathcal{C}')$ la courbe représentative de $g$ dans le repère \Oij, I le point défini par $\vect{\text{OI}} = \vect{\imath}$, A le point d'abscisse 0 de $(\mathcal{C}')$ et B son point d'abscisse 1. \medskip \begin{enumerate} \item Étudier brièvement les variations de $g$. \item Donner une équation de la tangente en A à $(\mathcal{C'})$. \item On note P l'intersection de cette tangente avec le segment [IB]. Calculer les aires des trapèzes OIPA et OIBA. \item On admet que la courbe $(\mathcal{C}')$ est située entre les segments [AP] et [AB]. Montrer alors que : $\ln(2) + \dfrac{1}{4} \leqslant \displaystyle\int_{0}^1 g(x)\:\text{d}x \leqslant \ln \sqrt{2(1 + \text{e})}.$ \item Déterminer une primitive sur [0~;~1] de la fonction $h$ définie par $h(x) = f(x) + g(x)$ \item Justifier que : $\displaystyle\int_{0}^1 f(x)\:\text{d}x = \ln (1 + \text{e}) - \displaystyle\int_{0}^1 g(x)\:\text{d}x.$ \item En déduire un encadrement de $\displaystyle\int_{0}^1 f(x)\:\text{d}x$. \end{enumerate}

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