Étude de fonctions logarithmiques, primitives

$\begin{flushright} \textit{Le peintre en variations qui se jette à l'assaut\\ entre tant de fonctions s'emmêle les pinceaux.} \end{flushright} \textbf{Énoncé:}\hfill \textit{d'après bac S Amérique du Nord, juin 2015}~~~~~~(temps conseillé : 1 heure)\\ %\textbf{Énoncé:}\hfill~~~~~~(temps conseillé : 1 heure)\\ \textbf{Partie A} \medskip Soit $u$ la fonction définie sur $]0~;~+ \infty[$ par $u(x) = \ln(x) + x - 3.$ \begin{enumerate} \item Démontrer que l'équation $u(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$, comprise entre 2 et 3. \item En déduire le signe de $u(x)$ en fonction de $x$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par $f(x) = \left( 1 - \dfrac{1}{x}\right) [\ln(x) - 2] + 2.$ On appelle $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthogonal. \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $0$. \item Étudier le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie C} \medskip Soit $\mathcal{C}'$ la courbe d'équation $y = \ln (x)$. \medskip \begin{enumerate} \item Démontrer que les courbes $\mathcal{C}$ et $\mathcal{C}'$ ont un seul point commun dont on déterminera les coordonnées. \item Déterminer une primitive $H$ de la fonction $h$ définie sur $]0~;~+ \infty[$ par $h(x) = \dfrac{\ln (x)}{x}$. \item Calculer $I = \displaystyle\int_1^{\text{e}^2}\dfrac{2 - \ln x}{x}\:\text{d}x$. Interpréter graphiquement ce résultat.\\ \end{enumerate} \textbf{Correction:}\\$