Image d’un endomorphisme par un polynôme

\textbf{Énoncé:}~~~~~~(temps conseillé : 25 min)\hfill\textit{D'après oral CCP 2006}\\ Soit $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel de dimension $N$ finie, $u$ un endomorphisme de $E$ et $P$ un polynôme non nul de $\mathbb{K}[X]$. 1) Montrer que si $\lambda$ est une valeur propre de $u$, alors $P(\lambda)$ est valeur propre de l'endomorphisme $P(u)$. 2) Montrer que si $u$ est diagonalisable, alors $P(u)$ aussi. 3) La réciproque est-elle vraie ?\\ \textbf{Correction:}\\