Indépendance et différences - Ayoub et les maths

$\LARGE \begin{flushright} \textit{Après coalition entre insurgés et France,\\ l'on fit déclaration de cette indépendance.} \end{flushright} \textbf{Énoncé:}~~~~~~(temps conseillé : 25 min)\hfill\textit{}\\ Soit $(X_i)_{i \in \mathbb{N}}$ une suite de variables aléatoires définies sur un même espace probabilisé $(\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P})$, mutuellement indépendantes, et suivant toutes la loi de Bernoulli de paramètre $p \in~]0~;~1[$. Pour tout entier naturel $i$, on note $E_i$ l'événement : $[X_{i+1} \neq X_i]$\\ 1) Montrer que pour tous entiers naturels non nuls $i$ et $j$ tels que $j > i+1$, les événements $E_i$ et $E_j$ sont indépendants. 2) Trouver une condition nécessaire et suffisante sur $p$ pour que les $E_i$ soient deux à deux indépendants.$

Correction :