Inégalité de Hoeffding

\begin{flushright} \textit{Amoureux du tréma, ta prétention faiblit :\\ cesse ton cinéma car ici point d'oubli.} \end{flushright} \textbf{Énoncé:}~~~~~~(temps conseillé : 45 min)\hfill\textit{d'après X ENS 2018, PC}\\ $(\Omega ;A; P)$ désigne un espace probabilisé sur lequel seront définies les différentes variables aléatoires de l'énoncé. On admettra que toutes les variables aléatoires introduites peuvent bien être construites sur cet espace. On notera $P(E)$ la probabilité d'un événement $E$ et $\mathbb{E}[X]$ l'espérance d'une variable aléatoire $X$ sur $(\Omega ;A; P)$ à valeurs réelles. Soit $n$ un entier strictement positif et soient $n$ variables aléatoires $U_1, U_2,..,U_n$, indépendantes et suivant toute la loi uniforme sur $\lbrace -1;1 \rbrace$. On note $S_n = \displaystyle\sum_{k=1}^n U_k$\\ Soit $\varphi$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $\varphi(x) = \ln\big(\mathbb{E}(e^{x U_1})\big)$.\\ ~~\\ 1) Démontrer que pour tout entier naturel $k$ : $2^k \times k! \leq (2k)!$\\ 2) Établir, pour tout $x \in \mathbb{R}$, l'inégalité suivante : $\varphi(x) \leq \dfrac{x^2}{2}$.~~\textit{On pourra introduire des séries...}\\ 3) Soit $t \in \mathbb{R}$. Montrer que pour tout $x > 0$, on a l'inégalité : $P(S_n \geq t) \leq \exp\big(n\varphi(x) - xt\big)$\\ 4) En déduire que : $\forall t > 0,~P(S_n \geq t) \leq \exp\big(-\dfrac{t^2}{2n}\big)$. (C'est l'inégalité de Hoeffding pour $S_n$)\\ \textbf{Correction:}\\