Inégalité de Jensen – Ayoub et les maths

$\begin{flushright} \textit{Humains, sommes, animaux sont en captivité.\\ Bien classique démo, riche en subtilités.} \end{flushright} \textbf{Énoncé:}~~~~~~(temps conseillé : 25 min)\hfill\textit{}\\ Soit $f$ une fonction convexe sur $\mathbb{R}$. Autrement dit, on a : $\forall a,b \in \mathbb{R}$, $\forall \lambda \in [0~;1]$ : $f\big(\lambda a + (1-\lambda)b\big) \leq \lambda f(a) + (1-\lambda)f(b)$\\ \textit{(inégalité de convexité)} Démontrer que pour tout entier $n \geq 2$, on a : pour tous $x_1,x_2,.,x_n \in \mathbb{R}$,\\ pour tous $\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_n \geq 0$ tels que $\displaystyle\sum_{k=1}^n \lambda_k = 1$,~~~$f\big(\displaystyle\sum_{k=1}^n \lambda_k x_k\big) \leq \displaystyle\sum_{k=1}^n \lambda_k f(x_k)$\\ \textit{(inégalité de convexité généralisée)}\\ \textbf{Correction:}\\$