Inégalité et produit

\LARGE \begin{flushright} \textit{Dans ce produit commode, nos voies nous nous frayons :\\ Le résultat se brode en trois coups de crayon.} \end{flushright} \textbf{Énoncé:}~~~~~~(temps conseillé : 25 min)\\ Soit $\alpha \in [0~;~1]$. 1) Montrer que pour tout réel $x \geq 0$,~$(1+x)^\alpha \leq 1+ \alpha x$ 2) En déduire que pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, $\displaystyle\prod_{k=1}^n~(1+ \dfrac{\alpha}{k}) \geq (n+1)^\alpha$\\ \textbf{Correction:}\\