Limites et convergence d’intégrale

$\LARGE \begin{flushright} \textit{Mon gribouillage tient à ces signes qui l'ornent.\\ Intégrons je veux bien, mais attention aux bornes !} \end{flushright} \LARGE ~~\\ \textbf{Énoncé:}~~~~~~(temps conseillé : 1 heure 15 minutes)\hfill\textit{d'après EDHEC ECS, mai 1996}\\ Soit $F$ la fonction définie sur $]0~;~1[$ par $F(x) = \displaystyle\int_{x}^{x^2}~\dfrac{1}{\ln(t)}~\text{d}t$. 1) Justifier que $F$ est bien définie sur $]0~;~1[$.\\ 2) Démontrer que pour tout $x \in~]0~;~1[,~~~~~~\displaystyle\int_{x}^{x^2}~\dfrac{1}{t\ln(t)}~\text{d}t = \ln(2)$\\ 3)a) Montrer que pour tout $x \in~]0~;~1[,~~~~~~x^2\ln(2) \leq F(x) \leq x\ln(2)$\\ b) En déduire les limites en $0$ et en $1$ de la fonction $F$.\\ 4) Montrer que $F$ est dérivable sur $]0~;~1[$ et que pour tout $x$ de $]0~;~1[$, $F'(x) = \dfrac{x-1}{\ln(x)}$.\\ \textit{Indication : on pourra introduire une primitive $G$ sur $]0~;~1[$ de $g : t \mapsto \dfrac{1}{\ln(t)}$}\\ 5) Démontrer que $\underset{x\rightarrow 0^+}{\lim}~\displaystyle\int_{x}^{1-x}~\dfrac{t-1}{\ln(t)}~\text{d}t = \ln(2)$\\ ~~\\ \textit{On dit que l'intégrale $\displaystyle\int_{0}^{1}~\dfrac{t-1}{\ln(t)}~\text{d}t$ est convergente.}\\ \center{\textbf{Correction:}}\\$

La correction de la 2) est aussi disponible en vidéo ici :