Loi de couple et factorielles

\LARGE \begin{flushright} \textit{Deux sigma d'affilée, des points d'exclamation !\\ Prétentieux défilé, matheuse procession.} \end{flushright} \textbf{Énoncé:}~~~~~~(temps conseillé : 25 min)\hfill\textit{oral HEC, 2014}\\ Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires définies sur un espace probabilisé $(\Omega,\mathcal{A},P)$ à valeurs dans $\mathbb{N}$ et soit un réel $a$ tels que : $\forall i, j \in \mathbb{N},~P\big([X=i]\cap[Y=j]\big) = \dfrac{a}{(i+j+1)!}$\\ 1) Déterminer $a$.\\ 2) Les variables aléatoires $X$ et $Y$ sont-elles indépendantes ?\\ \center{\textbf{Correction:}}