Majoration de la variance d’une somme

$\begin{flushright} \textit{L'énoncé nous assomme et les variables dansent,\\ Variance d'une somme et sans indépendance !} \end{flushright} \textbf{Énoncé:}~~~~~~(temps conseillé : 25 min)\hfill\textit{}\\ Soit $n$ un entier naturel supérieur ou égal à $2$. Soient $n$ variables aléatoires de Bernoulli $X_1, X_2,..., X_n$, de paramètres respectifs $p_1, p_2,..., p_n$, définies sur un espace probabilisé $(\Omega,\mathcal{A},P)$. $V(X)$ désignera la variance de $X$. Démontrer l'inégalité suivante : $V\big(\displaystyle\sum_{i=1}^{n} X_i\big) \leq \dfrac{n^2}{4}$\\ \textbf{Correction:}\\$