Matrice symétrique non diagonalisable

$\begin{flushright} \textit{Ce tout petit poème infirme une foutaise.\\ De votre théorème, lisez bien l'hypothèse.} \end{flushright} \textbf{Énoncé:}~~~~~~(temps conseillé : 25 min)\\ Pour toute matrice $M$ à coefficients complexes, on pose $M^* = ~^t\big(\overline{M}\big)$. Autrement dit, $M^*$ est la transposée de la matrice dont les coefficients sont les conjugués des coefficients de $M$. Ou encore : si $M = (m_{i,j})$, $M^* = (\overline{m_{j,i}})$ 1) Montrer que la matrice $A = \begin{pmatrix} 1 & i \\ i & -1 \end{pmatrix}$ n'est pas diagonalisable sur $\mathbb{C}$ 2) Soit $M \in \mathcal{M}_2(\mathbb{C})$ telle que $M = M^*$. \textit{Une telle matrice est dite hermitienne} Montrer que $M$ est diagonalisable sur $\mathbb{C}$.\\ \textbf{Correction:}\\$