Matrices orthogonales et majoration

$\LARGE \begin{flushright} \textit{Quelle inégalité, Schwarz ou triangulaire,\\ saurait me libérer de ma franche galère ?} \end{flushright} \textbf{Énoncé:}~~~~~~(temps conseillé : 30 min)\\ Soit $n \in \mathbb{N}^*$. On pose $O_n(\mathbb{R}) = \{M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}),~M~^{t}M = I_n\}$. Soit $A \in O_n(\mathbb{R})$.\\ Pour une matrice $M$ de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ et pour $i, j \in \llbracket 1~;n \rrbracket$, on note $[M]_{i,j}$ le coefficient de $M$ à la $i$-ème ligne et $j$-ième colonne (et $~^{t}M$ désigne la transposée de $M$).\\ 1) Montrer : $\displaystyle\sum_{i=1}^n~\displaystyle\sum_{j=1}^n~\big|[A]_{i,j}\big| \leq n\sqrt{n}$\\ 2) Montrer : $\displaystyle\sum_{i=1}^n~\big(\displaystyle\sum_{j=1}^n~[A]_{i,j}\big)^2 = n$\\ 3) En déduire : $\big|\displaystyle\sum_{i=1}^n~\displaystyle\sum_{j=1}^n~[A]_{i,j}\big| \leq n$\\ \center{\textbf{Correction:}}\\$