Matrices symplectiques et valeurs propres

$\textbf{Énoncé:}~~~~~~(temps conseillé : 25 min)\hfill\textit{D'après agrégation externe 2016}\\ Soit $n$ un entier naturel non nul. On notera $I_n$ la matrice identité de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$. $J$ désignera la matrice $\begin{pmatrix}0& I_n\\ - I_n& 0 \end{pmatrix}$ de $\mathcal{M}_{2n}(\mathbb{R})$ Enfin, on notera $\text{Sp}(2n)$ l'ensemble des matrices symplectiques réelles de taille $2n$, à savoir : $\text{Sp}(2n) = \lbrace M \in \mathcal{M}_{2n}(\mathbb{R)},~~^tMJM = J \rbrace$~~~~( $^tM$ désignant la transposée de $M$) 1) Soit $P$ un polynôme non nul de $\mathbb{R}[X]$. Montrer que si $\lambda \in \mathbb{C}$ est racine de $P$, alors $\overline{\lambda}$ est aussi racine de $P$, de même multiplicité que $\lambda$. 2) Soit $M \in \text{Sp}(2n)$. Montrer que si $\lambda \in \mathbb{C}$ est valeur propre de $M$, alors $\overline{\lambda}$ et $\dfrac{1}{\lambda}$ aussi, avec la même multiplicité (algébrique) que $\lambda$.\\$

Correction :