Morphisme d’anneaux de R dans R

$\LARGE \begin{flushright} \textit{Impétueux faucons, montrons à tire d'aile\\ que de telle fonction, il n'est qu'un seul modèle.} \end{flushright} \textbf{Énoncé:}~~~~~~(temps conseillé : 45 min)\\ Soit $\varphi : \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}$ une application telle que $\varphi(1) = 1$ et, pour tous réels $x$ et $y$ :\\ $\varphi(x+y) = \varphi(x) + \varphi(y)$ et $\varphi(x\times y) = \varphi(x) \times \varphi(y)$~~~~\textit{On dit que $\varphi$ est un morphisme d'anneaux.} 1) Montrer que pour tout réel non nul $x$, $\varphi(x) \neq 0$. 2) En déduire que $\varphi$ est injective. 3) Montrer que pour tout $x > 0, \varphi(x) > 0$. 4) En déduire que $\varphi$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$. 5) Montrer que $\varphi$ est l'application identité sur $\mathbb{R}$.\\ \textbf{Correction:}\\$