Noyaux et images des composées p-ièmes

$\begin{flushright} \textit{L'image et le noyau des composées p-ièmes\\ Sont les savants joyaux de ce petit poème.} \end{flushright} \textbf{Énoncé:}~~~~~~(temps conseillé : 25 min)\\ Soit $f$ un endomorphisme de $\mathbb{R}^n$. Pour $p \in \mathbb{N}^*$, on note $f^p = f \circ f\circ .. \circ f $~($f$ composée $p$ fois). Par convention, $f^0$ est l'application identité. On pose $K_p = \text{Ker} f^p$ et $I_p = \text{Im} f^p$.\\ Montrer qu'il existe $p_0 \in \mathbb{N}$ tel que : $\forall p \geq p_0$,~ $K_p = K_{p_0}$ et $I_p = I_{p_0}$.\\ \textbf{Correction:}\\$