Partie entière, limites et suite

\Large \begin{flushright} \textit{Attendez voir sévir mon stylo boutadeux\\ Car je m'en vais détruire une idée fausse ou deux.} \end{flushright} \textbf{Énoncé:}~~~~~~(temps conseillé : 45 min)\\ Soit $E$ la fonction partie entière définie sur $\mathbb{R}$. On rappelle que pour tout réel $x$, $E(x)$ est le plus grand entier relatif inférieur ou égal à $x$. Ainsi, $E(3,7) = 3$, $E(5) = 5$, ou encore $E(-7,1) = - 8$. Autrement dit, $E(x)$ est l'unique nombre entier vérifiant $E(x) \leq x < E(x) + 1$\\ 1) Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}^*$ par $f(x) = xE(\dfrac{1}{x})$\\ a) Calculer les limites de $f$ en $+ \infty$ et $- \infty$.\\ b) Montrer, pour tout réel $x$, l'encadrement suivant : $x - 1 < E(x) \leq x$\\ c) Calculer la limite de $f$ en zéro. 2) Soit $(u_n)$ la suite définie pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ par $u_n = 1+\dfrac{1}{n}$\\ a) Comparer $f\big(\underset{n\rightarrow +\infty}{\lim} u_n\big)$ et $\underset{n\rightarrow +\infty}{\lim} f(u_n)$\\ b) Expliquer le résultat obtenu.\\ \begin{center} \textbf{Correction:}\\ \end{center}