Polynômes, trigonométrie, et somme d’une série de Riemann

$\begin{flushright} \textit{Exercice inspiré d'une exquise œuvre d'art :\\ la preuve repérée par un Grec sur le tard.} \end{flushright} \textbf{Énoncé:}~~~~~~(temps conseillé : 50 min)\hfill\textit{}\\ On rappelle que cot (cotangente) est définie sur $\mathbb{R}\backslash\pi\mathbb{Z}$ par $\cot(x) =\dfrac{\cos(x)}{\sin(x)}$\\ 1) Soit $n \in \mathbb{N}^*$, et soit $P = \displaystyle\sum_{k = 0}^n a_k X^k \in \mathbb{C}[X]$~(avec $a_n \neq 0$).\\ Soient $\lambda_1, \lambda_2,...\lambda_n$ les racines de $P$ (pas forcément distinctes, répétées selon leur multiplicité).\\ Justifier que $\displaystyle\sum_{k=1}^n \lambda_k = - \dfrac{a_{n-1}}{a_n}$ 2) Montrer que pour tout $\theta \in \big]0~;~\dfrac{\pi}{2}\big[$,~$\cot^2(\theta) \leq \dfrac{1}{\theta^2} \leq \cot^2(\theta) + 1$ 3) Pour tout $n \in \mathbb{N}^*$,~on note $P_n$ le polynôme : $P_n = \displaystyle\sum_{k=0}^n~(-1)^{n-k} \binom{2n+1}{2k}~X^k$\\ a) Montrer que pour tout $n \in \mathbb{N}^*$,~pour tout $\theta \in \big]0~;~\dfrac{\pi}{2}\big[,~e^{in\theta} = \sin^n(\theta)\displaystyle\sum_{k=0}^n~\binom{n}{k}~i^k~\cot^{n-k}(\theta)$\\ b) En déduire : $\forall n \in \mathbb{N}^*$,~$\forall \theta \in \big]0~;~\dfrac{\pi}{2}\big[$, $\sin\big((2n+1)\theta\big) = \sin^{2n+1}(\theta)\times P_n\big(\cot^2(\theta)\big)$\\ 4) En déduire que pour tout $n \in \mathbb{N}^*$,~l'ensemble des racines de $P_n$ est :\\ $\big\lbrace \cot^2\big(\dfrac{k\pi}{2n+1}\big),~k \in \llbracket 1~;~n \rrbracket\big\rbrace$ 5) En déduire que pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ : $\displaystyle\sum_{k=1}^n~\cot^2\big(\dfrac{k\pi}{2n+1}\big) = \dfrac{n(2n-1)}{3}$ 6) Montrer que la suite $\big(\displaystyle\sum_{k=1}^n~\dfrac{1}{k^2}\big)_{n \in\mathbb{N}^*}$ converge et déterminer sa limite.\\$

Correction :