Relation d’ordre entre endomorphismes symétriques 2

$\textbf{Énoncé:}~~~~~~(temps conseillé : 25 min)\hfill\textit{D'après Mines-Ponts PSI, 2012}\\ Soit un entier naturel $n \geq 2$. On note $S_n$ l'ensemble des endomorphismes symétriques de $\mathbb{R}^n$. On admet que $S_n$ est un sous-espace vectoriel de $\mathcal{L}(E)$. Le produit scalaire euclidien de $\mathbb{R}^n$ est noté $(x,y)$. Pour tout $u \in S_n$, on dit que $u$ est positif, et on note $u \in S_n^+$, si : $\forall x \in \mathbb{R}^n,~(u(x)~,x) \geq 0$ On note donc $S_n^+$ l'ensemble des endomorphismes positifs de $S_n$. Enfin, pour tous $u, v \in S_n$, on note $u \geq v$ si et seulement si $u - v \in S_n^+$\\ 1) Démontrer que la relation $\geq$ est une relation d'ordre sur $S_n$.\\ Autrement dit, démontrer que :\\ $\bullet~\forall u \in S_n,~u \geq u$~~($\geq$ est réflexive)\\ $\bullet~\forall u,v \in S_n,~~(u \geq v$ et $v \geq u)$~~$\Longrightarrow u = v$~~($\geq$ est antisymétrique)\\ $\bullet~\forall u,v,w \in S_n,~~~ (u \geq v~\text{et}~v \geq w) \Longrightarrow u \geq w$~~($\geq$ est transitive)\\ 2) Est-elle totale ? \textit{Autrement dit, a-t-on, pour tous $u,v \in S_n$,~~$u \geq v$ ou $v \geq u$ ?}\\$

Correction :