Riemann et Euler

\begin{flushright} \textit{Alpha gamma zeta, des lettres en salade,\\ un morceau de feta : savoureuse escalade.} \end{flushright} \textbf{Énoncé:}~~~~~~(temps conseillé : 2 h 15 min)\hfill\textit{}\\ On rappelle : $\displaystyle\sum_{k = 1}^{n}~\dfrac{1}{n} \underset{n \rightarrow +\infty}{=} \ln(n) + \gamma + o(1)$, où $\gamma$ est la constante d'Euler.\\ 1) Pour tout $n \in \mathbb{N}^*$,~$f_n$ est la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f_n(x) = \dfrac{1}{n^x}$.\\ ~~\\ a) Déterminer le domaine de convergence simple $D$ de la série de fonctions $\displaystyle\sum_{n\geq 1}~f_n$. On notera $\zeta$ sa fonction somme, définie sur $D$ par $\zeta(x) = \displaystyle\sum_{n = 1}^{+\infty}~\dfrac{1}{n^x}$\\ b) Montrer que pour tout $a > 1$, $\displaystyle\sum_{n\geq 1}~f_n$ converge uniformément sur $\left[a~;+\infty\right[$\\ c) Étudier la convergence uniforme de $\displaystyle\sum_{n\geq 1}~f_n$ sur $\left]1~;+\infty\right[$\\ 2) Étudier la continuité puis la dérivabilité de $\zeta$ sur $\left]1~;+\infty\right[$\\ 3) Montrer que pour tout $x > 1$,~$\dfrac{1}{(x-1)2^{x-1}} \leq \zeta(x) - 1 \leq \dfrac{1}{x-1}$\\ 4) Déterminer les limites de $\zeta$ en $+\infty$ et à droite en $1$.\\ 5) On définit, pour tout $n \in \mathbb{N}^*$,~les fonctions $g_n$ et $h_n$ sur $\left[1~;+\infty\right[$ par $g_n(x) = \dfrac{1}{n^x} - \displaystyle\int_{n}^{n+1}~\dfrac{1}{t^x}~\text{d}t$\\ et $h_n(x) = \dfrac{1}{n^x} - \dfrac{1}{(n+1)^x}$.\\ Enfin, pour tout $x > 1$, soit $\phi_x$ la fonction définie sur $\left]0~;+\infty\right[$ par $\phi_x(t) = \dfrac{\ln(t)}{t^x}$\\ a) Pour tout $x > 1$, étudier les variations de $\phi_x$\\ b) Montrer que pour tout $n \geq 3$, pour tout $x \in \left[1~;+\infty\right[$, $h_n(x) \leq \dfrac{1}{n(n+1)}$\\ c) Montrer que la série de fonctions $\displaystyle\sum_{n \geq 1} g_n$ est normalement convergente sur $\left[1~;+\infty\right[$\\ 6) Démontrer que : $\underset{x \rightarrow 1^+}{\lim}~\zeta(x) - \dfrac{1}{x-1} = \gamma$\\

Correction :