Série entière et dérivées – Ayoub et les maths

$\begin{flushright} \textit{Enfile cette cape et partons au secours\\ de ce bord qui échappe à ce que dit le cours.} \end{flushright} \textbf{Énoncé:}~~~~~~(temps conseillé : 40 min)\hfill\textit{}\\ Soit la série entière $\displaystyle\sum_{n\geq 0}~\dfrac{(-1)^n}{(2n+1)(2n+2)}x^{2n+2}$. En tout réel $x$ où cette série converge, on pose $f(x) = \displaystyle\sum_{n = 0}^{+\infty}~\dfrac{(-1)^n}{(2n+1)(2n+2)}x^{2n+2}$ 1) Déterminer le rayon de convergence $R$ de cette série entière. 2) Étudier la nature de cette série en $x = R$ et $x = -R$ 3) Montrer que $f$ est continue sur $[-R~;~R]$. 4) Montrer que pour tout $x \in~]-1~;~1[$, $f'(x) = \arctan(x)$ 5) Donner une expression \og simple \fg~de $f(x)$ pour tout $x \in~]-1~;~1[$. 6) Déterminer la valeur de $\displaystyle\sum_{n = 0}^{+\infty}~\dfrac{(-1)^n}{(2n+1)(2n+2)}$\\$

Correction :