Six affixes

\begin{flushright} \textit{Polynôme à soucis ? On peut utiliser\\ ces six affixes-ci pour le factoriser.} \end{flushright} \textbf{Énoncé:}~~~~~~(temps conseillé : 1 heure)\hfill\textit{d'après bac S Asie, juin 1998}\\%(temps conseillé : 45 min) Le plan complexe $P$ est rapporté à un repère direct $(O,\vec{u},\vec{v})$. \begin{enumerate} \item Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation : $z^2- z\sqrt{3} + 1 = 0.$ et exprimer ses solutions $z_1$ et $z_2$ sous forme exponentielle. (On appellera $z_1$ la solution à partie imaginaire positive) On appelle M$_{1}$ et M$_{2}$ les points d'affixes respectives $z_1$ et $z_2$. \item Soit $r$ la rotation de centre O et d'angle $\dfrac{2\pi}{3}$. Calculer l'affixe $z_{3}$ du point M$_{3} = r$(M$_{2}$). \item Soit $t$ la translation dont le vecteur $\vec{w}$ a pour affixe $- \dfrac{\sqrt{3} + \text{i}}{2}$. Calculer l'affixe $z_{4}$ du point M$_{4} = t$(M$_{2})$. \item Soient $z_{5} = \dfrac{\text{i}}{2}(1 + \text{i}\sqrt{3})$ et $z_{6} = \dfrac{2}{\text{i} - \sqrt{3}}$. Exprimer $z_{5}$ et $z_{6}$ sous forme algébrique et sous forme exponentielle. \item \begin{enumerate} \item Calculer $z_{k}^6$ pour $k \in \{1,~2,~3,~4,~5,~6\}$. \item Écrire $z^{6} + 1$ sous forme d'un produit de trois polynômes du second degré à coefficients réels. Justifier cette écriture.\\ \end{enumerate} \end{enumerate}

Correction :