Solutions polynomiales d’une équation différentielle

\Large \begin{flushright} \textit{Voici la conclusion qui deviendra la nôtre :\\ certains de ces lambdas sont moins lambda que d'autres} \end{flushright} \textbf{Énoncé:}~~~~~~(temps conseillé : 45 min)\hfill\textit{d'après agrégation externe 2010}\\ \textit{Si vous n'êtes pas assez familier avec le signe somme - que vous serez amenés à manipuler dans cet exercice (linéarité, changement d'indice etc...) - vous pouvez consulter \href{https://youtube.com/playlist?list=PL_eyvOh5VoylWB8rZSEH2JVEb-JiTGVzR}{\underline{cette playlist.}} (si le lien n'est pas cliquable, vous le retrouverez dans le pdf ci-dessous)}\\ Pour tout réel $\lambda$, on considère l'équation différentielle $(E_\lambda)$ suivante :\\ $(A_\lambda) : y''(x) - 2xy'(x) + \lambda y(x) = 0$\\ ~~\\ \textit{Rappelons qu'une fonction $y$ définie sur $\mathbb{R}$ est une solution sur $\mathbb{R}$ de $(A_\lambda)$ si et seulement si \bigg[ $y$ est deux fois dérivable sur $\mathbb{R}$ et : $\forall x \in \mathbb{R},~y''(x) - 2xy'(x) + \lambda y(x)$~~\bigg]}\\ 1) On suppose dans cette question que $(E_\lambda)$ admet sur $\mathbb{R}$ une solution polynomiale non nulle $P$.\\ a) Si $P$ est une fonction constante, montrer que $\lambda = 0$.\\ b) Si $P$ est de degré $1$, montrer que $\lambda = 2$.\\ c) Si $P$ est de degré $n \geq 2$, montrer que $\lambda = 2n$.\\ 2) On suppose dans cette question que $\lambda$ est un entier naturel pair. Il existe donc $n \in \mathbb{N}$ tel que $\lambda = 2n$.\\ On suppose de plus que $n$ est un entier naturel pair et s'écrit $n = 2p$.\\ Montrer que la fonction polynomiale $P$ définie sur $\mathbb{R}$ par $P(x) = \displaystyle\sum_{i=0}^p~\dfrac{(-4)^i}{(p-i)! (2i)!}x^{2i}$ est solution de $(E_\lambda)$\\ On admettra que si $n$ est un entier naturel impair et s'écrit $n = 2p+1$, alors la fonction polynomiale $P$ définie sur $\mathbb{R}$ par $P(x) = \displaystyle\sum_{i=0}^p~\dfrac{(-4)^i}{(p-i)! (2i+1)!}x^{2i+1}$ est solution de $(E_\lambda)$\\ 3) Déterminer l'ensemble des réels $\lambda$ pour lesquels $(E_\lambda)$ admet sur $\mathbb{R}$ une solution polynomiale non nulle.\\

Correction :