Somme de cosinus

\begin{flushright} \textit{Cet énoncé te prend gentiment par la main,\\ main qu'enfin tu reprends tout au bout du chemin.} \end{flushright} \textbf{Énoncé:}~~~~~~(temps conseillé : 1 heure)\\ Soit $\theta$ un nombre réel dans l'intervalle $]0~;~2\pi[$~, et soit $n$ un entier naturel non nul. Le but de cet exercice est d'exprimer plus simplement la somme $S = \displaystyle\sum_{k=0}^n \cos(k\theta) = \cos(0) + \cos(\theta) + \cos(2\theta) + ... + \cos(n\theta)$\\ 1) Soit $\alpha \in \mathbb{R}$. Que vaut Re$(e^{i\alpha})$ ?~~(Re($z$) désignant la partie réelle de $z$)\\ 2) Montrer par récurrence que pour tout $N \in \mathbb{N^*}$, pour tous nombres complexes $z_0, z_1,...z_N$, l'égalité suivante est vraie : $ \displaystyle\sum_{k=0}^N \text{Re}(z_k) = \text{Re}\big(\displaystyle\sum_{k=0}^N z_k\big)$~~~~\\ 3) Soit $q \in \mathbb{R}\backslash\lbrace1\rbrace$. Rappeler l'expression de $\displaystyle\sum_{k=0}^n q^k = q^0 + q^1 + ... + q^n$.\\ On admettra dans la suite du problème que le résultat obtenu est valable pour $q \in \mathbb{C}\backslash\lbrace1\rbrace$.\\ 4)a) Montrer que pour tout réel $\alpha$, $\sin(\alpha) = \dfrac{e^{i\alpha} - e^{-i\alpha}}{2i}$\\ b) En déduire que pour tout réel $\alpha$, l'égalité suivante est vraie : $1 - e^{i\alpha} = - 2i\sin\big(\dfrac{\alpha}{2}\big)\times e^{i\frac{\alpha}{2}}$\\ \textit{C'est ce qu'on appelle la technique de l'angle moitié.}\\ 5) Montrer que pour tout $a \in \mathbb{R}$, pour tout $z \in \mathbb{C}$, $\text{Re}(az) = a\text{Re}(z)$ \\ 6) À l'aide des questions précédentes - et d'une bonne dose de courage - montrer que :\\ \begin{center}$S = \dfrac{\sin\big(\dfrac{(n+1)\theta}{2}\big)\cos\big(\dfrac{n\theta}{2}\big)}{\sin\big(\dfrac{\theta}{2}\big)}$\end{center} \textbf{Correction:}\\