Suite de sommes partielles – Ayoub et les maths

$\textbf{Énoncé:}~~~~~~(temps conseillé : 1 heure)\\ On définit, pour tout entier naturel $n > 0$, la suite $(u_n)$ de nombres réels strictement positifs par $u_n = \dfrac{n^2}{2^n}$. \medskip \begin{enumerate} \item Pour tout entier naturel $n > 0$, on pose $v_n = \dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ \begin{enumerate} \item Montrer que $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} v_n = \dfrac{1}{2}$. \item Montrer que pour tout entier naturel $n > 0,\: v_n > \dfrac{1}{2}$. \item Trouver le plus petit entier $N$ tel que si $n \geqslant N,~v_n < \dfrac{3}{4}$. \item En déduire que si $n \geqslant N$, alors $u_{n+1} < \dfrac{3}{4}u_n$. \end{enumerate} On pose pour tout entier naturel $n \geqslant 5,~S_n = u_5 + u_6 + \cdots + u_n$. \item On se propose de montrer que la suite $(S_n)_{n\geqslant 5}$ est convergente. \begin{enumerate} \item Montrer par récurrence que pour tout entier naturel $n \geqslant 5,$ \[u_n \leqslant \left(\dfrac{3}{4}\right)^{n-5}u_5.\] \item Montrer que pour tout entier naturel $n \geqslant 5$, \[S_n \leqslant \left[1 + \dfrac{3}{4} + \left(\dfrac{3}{4}\right)^2 + \cdots + \left(\dfrac{3}{4}\right)^{n-5}\right]u_5.\] \item En déduire que pour tout entier naturel $n \geqslant 5,~S_n \leqslant 4u_5$. \end{enumerate} \item Montrer que la suite $\left(S_n\right)_{n\geqslant 5}$ est croissante et en déduire qu'elle converge.\\ \end{enumerate} \center{\textbf{Correction:}}\\$