Suite d’intégrales et série – Ayoub et les maths

$\begin{flushright} \textit{Le crayon à la main, assis au fond du bus,\\ je veux un signe moins à la place du plus.} \end{flushright} \textbf{Énoncé:}~~(temps conseillé : 25 min)\hfill\textit{}\\ Soit $(I_n)$ la suite définie par : $\forall n \in \mathbb{N}$,~$I_n = \displaystyle\int_{0}^1~\dfrac{x^n}{1+x}~\text{d}x$\\ 1) Montrer que $\underset{n\rightarrow +\infty}{\lim}~I_n = 0$\\ 2) Pour tout $n \in \mathbb{N}$,~exprimer $I_n + I_{n+1}$ en fonction de $n$.\\ 3) Démontrer la convergence de $\displaystyle\sum_{n \geq 1} \dfrac{(-1)^{n+1}}{n}$ et calculer sa somme.\\$

Correction :