Théorème ergodique de Von Neumann

$\begin{flushright} \textit{Comme Hilbert en prépa n'est plus si familier,\\ voyons de Von Neumann un cas particulier.} \end{flushright} \textbf{Énoncé:}~~~~~~(temps conseillé : 35 min)\\ Soit $E$ un espace euclidien, dont le produit scalaire sera noté $<~,~>$ et la norme associée $||.||$. On notera $Id$ l'application identité de $E$.\\ Pour tout $F$ sous-espace vectoriel de $E$, on note $F^\perp$ l'orthogonal de $F$.\\ Soit $T$ un endomorphisme de $E$ vérifiant : $\forall x \in E,~||T(x)|| \leq ||x||$.\\ Soit $p$ le projecteur orthogonal sur $\text{Ker}(T - Id)$.\\ Enfin, pour tout entier naturel $n \geq 1$, on pose : $T_n = \dfrac{1}{n+1}\displaystyle\sum_{k=1}^n~T^k$ 1) Montrer que $\text{Ker}(T - Id) = \big(\text{Im}(T-Id)\big)^\perp$ 2) Montrer que pour tout $x \in E$ : $\underset{n\rightarrow +\infty}{\lim}~T_n(x) = p(x)$~~(c-à-d : $\underset{n\rightarrow +\infty}{\lim}~||T_n(x) - p(x)|| = 0$)\\$

Correction :