Une somme qui met en nage

\textbf{Énoncé:}~~~~~~(temps conseillé : 20 min)\hfill\textit{}\\ Soit la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie par $u_n = e^{-n}\displaystyle\sum_{k=0}^n~\dfrac{n^k}{k !}$ Démontrer que $(u_n)$ converge et déterminer sa limite.\\ \textbf{Correction:}\\