Valeurs propres possibles – Ayoub et les maths

$\textbf{Énoncé:}~~~~~~(temps conseillé : 15 min)\hfill\textit{D'après EDHEC 2017 ECS}\\ Soit $n$ un entier naturel supérieur ou égal à $2$. Soit $A$ la matrice de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ dont les éléments diagonaux valent $-n$, les autres valant tous $1$. On note $J$ la matrice de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ dont tous les éléments sont égaux à $1$, et $I$ la matrice identité de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$. 1) Donner les deux valeurs propres possibles de $A$. (On pourra exprimer $A$ et $A^2$ comme combinaisons linéaires de $J$ et de $I$) 2) Montrer que A est inversible et déterminer $A^{-1}$.\\ \textbf{Correction:}\\$