Séries et Cauchy-Schwarz – Ayoub et les maths

$\begin{flushright} \textit{Voici en vérité la question assassine :\\ Où l'inégalité trouve-t-elle racine ?} \end{flushright} \textbf{Énoncé:}\\ Soit $(u_{n})$ une suite positive telle que la série de terme général $u_{n}$ converge. On pose $v_{n}=\frac{1}{1+n^{2}u_{n}}$. 1) Montrer que si la s\'erie $\sum v_n$ converge, alors la s\'erie $\sum \sqrt{u_n v_n}$ converge. 2) Montrer, en raisonnant par l'absurde, que la s{\'e}rie de terme g{\'e}n{\'e}ral $v_{n}$ est divergente.\\ On pourra utiliser l'in\'egalit\'e de Cauchy-Schwarz : $\sum_{k=0}^n u_k v_k \leq\sqrt{\sum_{k=0}^n u_k^2} \sqrt{\sum_{k=0}^n v_k^2}$\\ \textbf{Correction:}\\$