L’astuce trigonométrie-complexes

\begin{flushright} \textit{" Apprêtez-vous à lire une brillante astuce\\ Pour pouvoir sans souffrir sommer des cosinus. "} \end{flushright} \textbf{Enoncé:}\\ Etant donn\'e $\rho \in ]0,1[$ et $\theta \in \mathbb{R}$, on pose $U_n={\displaystyle \sum_{k=0}^n} \rho^k \cos(k\theta)$. Etablir la convergence de $(U_n)$ et en d\'eduire sa limite.\\ \textbf{Correction:}\\