Lemme de Cesàro

\textit{Les passages en italique correspondent à ce qui est censé expliquer le "pourquoi" des idées. Un correcteur d'examen vous corrige non pas sur les raisons qui vous ont poussé à avoir telle ou telle idée, mais sur la validité mathématique de votre raisonnement. Sauf cas particulier, le "pourquoi" de vos idées l'intéresse à peu près autant que ce que vous avez mangé à midi.}\ \textit{Mais s'il n'est pas forcément de bon ton de mettre tous vos états d'âme sur une copie de partiel, vous entraîner à avoir ces idées est, à mon sens, une priorité. Vous êtes notés sur la pertinence de vos raisonnements, mais c'est au niveau de l'idée qu'ils naissent. D'ailleurs, nombreux sont les élèves qui comprennent la correction lorsqu'elle leur est exposée, mais restent interloqués en se demandant comment ils auraient pu "penser à ça". Entraînons-nous donc à aiguiser notre flair mathématique...}\ \textit{Vous l'avez donc bien compris, les passages en italique ne font pas à proprement parler partie de la correction, mais en sont des commentaires.}\\ \textbf{Enoncé:}\\ Soit $u$ une suite réelle. On suppose qu'elle converge vers un certain réel $l$. Pour tout entier $n\geq1$, on pose $v_n = \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n u_k$ Montrer que la suite $v$ converge aussi vers $l$. (c'est ce qu'on appelle le lemme de Cesàro)\\ \textbf{Correction:}\\