Moyenne arithmétique et moyenne géométrique

$\textit{En TD, le temps nous a manqué pour achever cet exercice. Certes, une poignée d'irréductibles est restée pendant la récréation pour assister à la botte finale. Nous contre une inégalité coriace. Il est temps de faire profiter le grand public de ce duel de haute volée, en rappelant aussi, par la même occasion, comment il a débuté. C'est en entraînant sa pointe qu'on l'aiguise pour le partiel. A vos plumes, donc.}\\ \textbf{Énoncé:}\\ Soient $a_1,a_2 \in \mathbb{R_+^*}$. 1) Montrer que $\frac{a_1+a_2}{2}\geq\sqrt{a_1 a_2}$, avec égalité si et seulement si $a_1=a_2$ 2) Montrer par récurrence sur l'entier $n\geq 2$ que, pour tous $a_1,..,a_n \in \mathbb{R_+^*}$, on a $ \frac{a_1+...+a_n}{n}\geq (a_1\times ...\times a_n)^\frac{1}{n}$, avec égalité si et seulement si $a_1=...=a_n$ \textit{Indication: pour l'hérédité, on pourra considérer la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R_+^*}$ par\\ $f(x)= \frac{a_1+...+a_n+x}{n+1}- (a_1\times ...\times a_n \times x)^\frac{1}{n+1}$}\\ \textbf{Correction:}\\$