Autour du module - Ayoub et les maths

$\Large \begin{flushright} \textit{Ne pouvant arrêter la danse du pendule\\ en attendant l'été, révisons nos modules.\\} \end{flushright} \textbf{Énoncé:}~~~~~~(temps conseillé : 40 minutes)\\ 1) Déterminer l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ tels que $z + \overline{z} = |z|$\\ 2) Soient $a$ et $b$ deux nombres complexes non nuls. Montrer l'égalité suivante : $\big|\dfrac{a}{|a|^2} - \dfrac{b}{|b|^2}\big| = \dfrac{|a-b|}{|a|\times|b|}$\\ 3) Soient $A$ et $B$ les points du plan d'affixes respectives $1+2i$ et $-2+i$.\\ A tout point $M \neq B$ ($M$ d'affixe $z$), on associe le point $M'$ d'affixe $z' = \dfrac{z-1-2i}{z+2-i}$.\\ a) Donner une signification géométrique de $|z'|$.\\ b) En déduire l'ensemble des points $M$ tels que $|z'| = 1$$

Correction :

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