Transformation complexe et orthogonalité

    \begin{flushright} \textit{Au fond du désarroi, il en perd ses réflexes :\\ " Comment voir l'angle droit quand le plan est complexe ? "} \end{flushright} ~~\\ \textbf{Énoncé:}~~~~~~(temps conseillé : 25 min) \hfill\\ $(O,\vec{u},\vec{v})$ est un repère orthonormal direct du plan complexe. Soit $A$ le point d'affixe $1+ \text{i}$. Au point $M$ d'affixe $z$, on associe le point $M'$ d'affixe $z'$ telle que \[z'=\dfrac12\left(z+\text{i}\overline{z}\right).\] On pose $z=x+\text{i}y$ et $z'=x'+\text{i}y'$ avec $x$, $y$, $x'$ et $y'$ réels. \begin{enumerate} \item Démontrer que le point $M'$ appartient à la droite $(\text{O}A)$. \item Déterminer l'ensemble des points $M$ du plan tels que $M = M'$. \item Démontrer que pour tout point $M$ du plan tel que $M\neq M'$, les vecteurs $\vect{MM'}$ et $\vect{\text{O}A}$ sont orthogonaux. \end{enumerate}~~\\ \center{\textbf{Correction:}}\\