Exponentielle et primitive

\begin{flushright} \textit{D'une écriture hâtive, il va dans l'autre sens\\ Pour une primitive, dont il cherche l'essence.} \end{flushright} \textbf{\'Enonc\'e:}\\ On considère la fonction $h$ définie sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ par : $h(x) = x\mathrm{e}^{-x}.$ 1) Déterminer la limite de la fonction $h$ en $+\infty$. 2) Étudier les variations de $h$ sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ et dresser son tableau de variations. 3) L'objectif de cette question est de déterminer une primitive de la fonction $h$.\\ a) Vérifier que pour tout nombre réel $x$ appartenant à l'intervalle $[0~;~+\infty[$, on a :\\ $h(x) =\mathrm{e}^{-x} - h'(x)$ où $h'$ désigne la fonction dérivée de $h$.\\ b) Déterminer une primitive sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ de la fonction $x\longmapsto \mathrm{e}^{-x}$.\\ c) Déduire des deux questions précédentes une primitive de la fonction $h$ sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$.\\ \textbf{Considérations tactiques:}\\ \textit{Pas grand-chose à signaler, si ce n'est qu'il ne faut surtout pas faire la bêtise classique de celui qui ne lirait pas l'énoncé en entier : à la lecture de la question 3 ( " l'objectif de cette question...", certains élèves attaquent directement la recherche d'une primitive, avant même de lire le a) et le b), en répondant à une question qui ne leur est pas posée. Le début de la 3 n'est qu'une annonce. C'est en 3)b) que cette annonce se concrétise...} \textit{Cela est évident pour la plupart des élèves, mais si je peux éviter à deux ou trois étourdis de faire une telle bêtise en contrôle, c'est déjà pas mal.}\\ ~~\\ \textbf{Corrig\'e:}\\