Suite et indépendance d’événements

$\begin{flushright} \textit{Du blanc lunaire au noir de jais, les peintres marient les couleurs;\\ Quant à vos faiseurs de sujets, leurs liaisons charrient vos douleurs.} \end{flushright} \textbf{Énoncé:}\\ Une urne contient $5$ boules noires et $5$ boules blanches. On en prélève $n$ successivement et avec remise, $n$ étant un entier naturel supérieur ou égal à $2$. On considère les deux évènements suivants : $A$ : \og On obtient des boules des deux couleurs \fg{} ; $B$ : \og On obtient au plus une blanche \fg. 1) a) Calculer la probabilité de l'évènement : \og Toutes les boules tirées sont de même couleur \fg{}.\\ b) Calculer la probabilité de l'évènement : \og On obtient exactement une boule blanche \fg{}.\\ c) En déduire que les probabilités $P(A \cap B),~ P(A),~ P(B)$ sont : $P(A \cap B) = \dfrac{n}{2^n},\quad P(A) = 1 - \dfrac{1}{2^{n-1}},\quad P(B) = \dfrac{n+1}{ 2^n}.$ 2) Montrer que $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$ si et seulement si $2^{n-1} = n + 1$. 3) Soit $(u_n)$ la suite définie pour tout entier naturel $n \geq 2$ par $u_n = 2^{n-1} - (n + 1).$\\ Calculer $u_2,~ u_3,~ u_4$. Démontrer que $(u_n)$ est strictement croissante. 4) En déduire la valeur de l'entier $n$ tel que les évènements $A$ et $B$ soient indépendants.\\ \textbf{Considérations tactiques:}\\ \textit{Bien qu'elle ne soit pas particulièrement difficile sur un plan théorique, la question $1$ (a, b et c) peut déstabiliser bon nombre d'élèves. En condition réelle d'examen, il ne faut pas hésiter, en cas de gros blocage, à reprendre le flambeau dès la question 2. Le sujet est " gentil " dans le sens où, à la fin de la 1), il donne les probabilités à trouver. On peut donc s'en servir pour la suite (oui, le jeu de mot est voulu).}\\ \textbf{Corrig\'e:}\\$