Urne, boules et jeu équitable

\begin{flushright} \textit{Jeux du regret suprême et de l'argent ravi,\\ Vous faites des problèmes, en maths et dans la vie.} \end{flushright} \textbf{Énoncé:}\\ On dispose de deux urnes $U_1$ et $U_2$ contenant des boules indiscernables au toucher. $U_1$ contient $k$ boules blanches ($k\geq 1$) et $3$ boules noires. $U_2$ contient $2$ boules blanches et $1$ boule noire. On tire au hasard une boule de $U_1$ et on la place dans $U_2$. On tire, ensuite, une boule de $U_2$. L'ensemble de ces opérations constitue une épreuve. On note $B_1$ (respectivement $N_1$) l'événement " on a tiré une boule blanche (respectivement noire) dans l'urne $U_1$. " On note $B_2$ (respectivement $N_2$) l'événement " on a tiré une boule blanche (respectivement noire) dans l'urne $U_2$. " 1) Etablir un arbre de probabilités décrivant l'épreuve, et faisant figurer $B_1$, $N_1$, $B_2$, $N_2$. 2) Un joueur mise $8$ euros et effectue une épreuve. Si, à la fin de l'épreuve, le joueur tire une boule blanche de la deuxième urne, le joueur reçoit $12$ euros. Sinon, il ne reçoit rien et perd sa mise. Soit $X$ la variable aléatoire égale au gain du joueur, c'est-à-dire la différence entre la somme reçue et la mise.\\ a) Montrer que les valeurs possibles de $X$ sont $4$ et $-8$.\\ b) Déterminer, en fonction de $k$, la loi de probabilité de la variable $X$.\\ c) Déterminer, en fonction de $k$, l'espérance mathématique de $X$. 3) Dans cette question, $k=12$. Un joueur participe $8$ fois de suite à ce jeu. Au début de chaque épreuve, l'urne $U_1$ contient donc $12$ boules blanches et $3$ noires, et l'urne $U_2$ contient $2$ boules blanches et $1$ noire. Ainsi, les épreuves successives sont indépendantes.\\ Calculer la probabilité qu'à la fin de ces huit épreuves, le joueur ait gagné cinq fois $4$ euros et perdu trois fois $8$ euros ( l'arrondir à $0,0001$ près). 4) $k$ désigne de nouveau un entier naturel supérieur ou égal à $1$. Combien de boules blanches doit contenir l'urne $U_1$ pour que le jeu soit équitable ?\\ \textbf{Corrigé:}\