Etude de fonction – étude de suite

\begin{flushright} \textit{La pensée cristalline et le courage aidant,\\ Aiguisez vos canines, sans vous casser les dents.} \end{flushright} \textbf{Énoncé:}~~~~~~(temps conseillé : 1 heure)\hfill \textit{D'après EM Lyon 2015}\\ \textbf{Partie I : étude de fonction}\\ On considère la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x) = x^2 e^x - 1$ \begin{enumerate} \item Étudier les variations de $g$. Calculer la limite de la fonction $g$ en $+\infty$. \item Démontrer que $g(x)$ tend vers $-1$ lorsque $x$ tend vers $-\infty$. \item \begin{enumerate} \item Montrer que l'équation $e^x = \dfrac{1}{x^2}$ admet une unique solution sur $]0~;~+\infty[$. On notera $\alpha$ cette solution. \item Justifier que $\dfrac{1}{2} < \alpha < 1$\\ \end{enumerate} \end{enumerate} \textbf{Partie II : étude de suite}\\ On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^3e^x$ et la suite $(u_n)_{n\in \mathbb{N}}$ définie par :\\ $u_0 = 1$~~et~~$\forall n \in \mathbb{N},~u_{n+1} = f(u_n)$ \begin{enumerate} \item Montrer : $\forall n \in \mathbb{N},~u_n \geq 1$ \item Établir que la suite $(u_n)$ est croissante. \item Quelle est la limite de $u_n$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$ ?\\ \end{enumerate} \textbf{Correction:}\\